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……续上回 Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析 连载【4】
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来看profile的记录分析，看时间具体用在哪个部分了
一看，绝大部分时间耗在两句results上了
看来主要都用来大整数运算了
下面来试一下
把这程序里两句“results = ”后面的大数运算注释掉，换成1。也就是两句都成“results = 1”
再运行计时看看
Total time: 0.000753秒
很惊人，去掉大数运算后，运行时间缩短成了原用时的1%。也就是99%时间消耗在Python内置的大数运算上了
下面试下用号称地球上最好的大数运算库替换掉Python内置的大数运算
9. 应用GMP库
全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库，这是一个C写成的高效大数运算库
gmpy2是Python下对GMP库的封装
安装很简单，在操作系统下打命令pip install gmpy2，就安装好了
应用到程序也很简单
把上面的二分迭代解法程序开头添加一行
再把程序里
改成
就可以了
运行看一下用时
Total time: 0.00689297秒
是原用Python内置大数运算用时的9%
效果显著。可见Python内置大数运算效率确实不怎么样
相关大整数乘法高效算法的介绍可参见这篇《 【算法】大数乘法问题及其高效算法 》
极大整数乘法的时间复杂度低至近似O(n*log n)
前面二分解法本身时间复杂度是O(log n)
现在把大数因素考虑进去。大数时间复杂度的n可以用二进制位数表示
第n项斐波那契数的二进制位数k跟n是线性关系，n*10，那位数k也是*10
现在把极大整数乘法时间复杂度代入，O(n*log n)*O(log n)=O(n*(log n)^2)
也就是在大数情况下二分解法的时间复杂度为O(n*(log n)^2)
可以看这篇《 为什么算法渐进复杂度中对数的底数总为2 》解释
10. 矩阵解法
斐波那契数列和矩阵的关系推导我看到GoCalf Blog里写的一段非常清晰，特在此引用
这解法就是求矩阵的n-1次幂。矩阵幂运算也能根据下面公式迭代二分加速
就是所谓的矩阵快速幂
Python里库很丰富，大名鼎鼎的numpy就是一个有关矩阵的库。这库是有优化的，算矩阵幂就不用个人再写什么矩阵快速幂函数了
用numpy库就能很简单的写出来
因为numpy没有大数支持，大数运算还是要用GMP库
同上测用时
Total time: 0.042466秒
这幂运算是二分加速的，时间复杂度为O(log n)
对于固定阶矩阵相乘，乘的次数是个常数，也就是O(1)。虽然这个常数比较大^_*
代入大数时间复杂度，总体复杂度也是O(n*(log n)^2)
这儿来解释下为何矩阵快速幂比二分递归解法时间常数大
我们再来仔细看看斐波那契数列的矩阵形式：
会发现 z 和 y 必然相等，z 没必要再计算一遍。
t = x - y，因此 t 也没必要再计算一遍。
只需要计算矩阵第一列的那两个元素即可：
矩阵快速幂中两个矩阵相乘实际可分解为8次两个大整数乘法，而二分递归中只需要3次两个大整数乘法。所以二分递归时间常数小。
未完待续……
Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析 连载【6】
Python中幂运算可以使用**表示，Python中三次方可以表示为x**3，即为x的3次方。
**是Python中算术运算符表示幂运算，Python中算术运算符还有加、减、乘、除、取模、取整除。
Python自定义函数在运行时，最初只是存在内存中，只有调用时才会触发运行。
在python中就有内置函数pow函数表示幂的运算。
1、pow()函数Python的内置函数，它计算并返回x的y次方的值。
2、语法pow(x，y，z)
3、参数x--数值表达式。y--数值表达式。z--数值表达式。
4、返回值返回xy(x的y次方)的值。
5、pow()函数解释pow(x，y)：表示x的y次幂。
前两个都封装成了函数。最后一个直接运行的。没有定义函数。
中间那个问题，是因为你忘记做类型转换，你试着运行这个number=int(number)。应该 就对了。
python中，想要表示a的b次方时，有两种方法：
1，math.pow()这个内置函数
2，**运算符
这两种方法效果是一样的，但是当
b为分数，a为负数：当幂运算符的底数为负数、幂为分数时，Python会抛出ValueError: negative number cannot be raised to a fractional power异常，
这时有两种方法可以解决此问题：
1，底数a正负均可不影响你的算法的话，加一个绝对值就行了即abs(a);
2，如果底数a必须是正、或必须是负的话，需要采用复数进行运算。因此凡是遇到幂为分数的项，都将底数用complex()转换为复数。
推荐学习《python教程》。
Python标准库math中用来求幂运算的函数是pow(x,y)
pow(x,y)函数和x**y是等效的,都是计算x的y次方
用法:
import math
print(math.pow(4,2))