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python实现欧拉函数的简单介绍

Python如何引用欧拉常数

欧拉常数(Euler-Mascheroniconstant)。

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学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+..是发散的这时引用欧拉常数。

在数论,对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目(因此φ(1)=1)此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’stotientfunction),它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。

python怎么调用欧拉距离的函数

φ函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ

CTF常见RSA相关问题的解决(复现)

本文参考 为对其知识进行掌握,写此文章来梳理和加深记忆

前言:理解基本概念,本文将每种攻击方式实现方法提炼成了一个函数,便于理解原理也可以直接调用。

基础:

RSA概要:

在开始前可以通过 《RSA算法详解》 这篇文章了解关于RSA的基础知识,包括加解密方法,算法原理和可行性证明等。(特详细)

应用流程:

1.选取两个较大的互不相等的质数p和q 计算n =p q。

2.计算phi =(p-1) (q-1)。

3.选取任意的e,使得e满足1ephi 且 gcd(e,phi) ==1 .

4.计算e关于phi的模逆元d,即d满足(e*d)%phi ==1.

5.加解密:c=(m^e)%n ,m =(c^d)%n.其中m为明文,c为密文 (n,e)为公钥,d为私钥,要求0=mn.

求模逆可直接利用gmpy2库。如 import gmpy2 print gmpy2.invert(47,30) 可求得47模30的逆为23。

扩展欧几里得算法基于欧几里得算法,能够求出使得 ax+by=gcd(a,b) 的一组x,y。

常见攻击方式实践

准备工具

python gmpy2库 libnum库

yafu

RSATool2v17.exe

RSA解密

若已知私钥d,则可以直接解密:m=pow(c,d,n).

若已知质数p和q,则通过依次计算欧拉函数值phi、私钥d可解密。简易实现如下:

在选取加密指数e时要求phi,e互质,也就是gcd(phi,e)==1 ,如果不满足是无法直接解密的。

SCTF2018的Crypto - a number problem,题目是: x**33=1926041757553905692219721422025224638913707 mod 3436415358139016629092568198745009225773259 tell me the smallest answer of x

其中n=3436415358139016629092568198745009225773259 可以直接分解得到p,q,出phi=(p-1)*(q-1) ,然后惊奇地发现gcd(phi,33)==3 。这时如果对加密过程比较熟悉的话,就可以想到实际上公钥e=11 ,明文是m=x^3 ,应该先求出m。然后再爆破x。

n2,n3已知,利用共模攻击得到n1,由gcd(n1,n2)==p1 分解n1,n2,就可解密得到两部分msg,拼接即可。

小明文攻击

适用情况:e较小,一般为3。

公钥e很小,明文m也不大的话,于是 m^e=k*n+m 中的的k值很小甚至为0,爆破k或直接开三次方即可。Python实现:

例子:Extremely hard RSA

题目提供的n是4096位的,e=3。

Rabin加密中的N可被分解

适用情况:e==2

Rabin加密是RSA的衍生算法,e==2是Rabin加密典型特征,可以百度或阅读 以了解到详细的说明,这里只关注解密方法。一般先通过其他方法分解得到p,q,然后解密。

Python实现:

函数返回四个数,这其中只有一个是我们想要的明文,需要通过其他方式验证,当然CTF中显然就是flag字眼了。

Wiener’s Attack

适用情况:e过大或过小。

工具:

在e过大或过小的情况下,可使用算法从e中快速推断出d的值。详细的算法原理可以阅读: 低解密指数攻击 。

例子:2018强网杯nextrsa-Level2

**私钥文件修复

适用情况:提供破损的私钥文件。 **

参考 修复存储私钥的文件,得到p和q。

**私钥修复

Python 脚本:**

从缺失的私钥中,我们可以分析出各部分数据代表的数字。

改动原脚本中的各部分内容即可恢复出私钥,大致算法为:

**LSB Oracle Attack

适用情况:可以选择密文并泄露最低位。 **

在一次RSA加密中,明文为m,模数为n,加密指数为e,密文为c。我们可以构造出 c'=((2^e)*c)%n=((2^e)*(m^e))%n=((2*m)^e)%n , 因为m的两倍可能大于n,所以经过解密得到的明文是 m'=(2*m)%n 。我们还能够知道 m' 的最低位 lsb 是1还是0。 因为n是奇数,而 2*m 是偶数,所以如果 lsb 是0,说明 (2*m)%n 是偶数,没有超过n,即 mn/2.0 ,反之则 mn/2.0 。举个例子就能明白 2%3=2 是偶数,而 4%3=1 是奇数。以此类推,构造密文 c"=(4^e)*c)%n 使其解密后为 m"=(4*m)%n ,判断 m" 的奇偶性可以知道 m 和 n/4 的大小关系。所以我们就有了一个二分算法,可以在对数时间内将m的范围逼近到一个足够狭窄的空间。

更多信息可参考: RSA Least-Significant-Bit Oracle Attack 和 RSA least significant bit oracle attack 。

Python实现:


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