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平面直接角坐标系中点的旋转
在平面直接角坐标系中的一点P0(a,b)绕原点逆时针旋转θ角度,那么旋转后的坐标P(x,y)的坐标如下:
x = acosθ - bsinθ
y = asinθ + bcosθ
如果是顺时针旋转θ角度,可以看做逆时针旋转360-θ度,P坐标为:
cos(360-θ) = cosθ sin(360-θ) = -sinθ
x=acos(360-θ) - bsin(360-θ) = acosθ + bsinθ
y=asin(360-θ) + bcos(360-θ) = bcosθ - asinθ
或
x=acos(-θ) - bsin(-θ) = acosθ + bsinθ
y=asin(-θ) + bcos(-θ) = bcosθ - asinθ
空间坐标系中点的旋转
空间中一点P0(x0,y0,z0)绕X/Y/Z坐标轴正/负方向旋转θ角度,求旋转后的坐标p(x,y,z).
以左手坐系中点正/负方向绕X轴旋转为例
绕X轴正方向旋转: 即从+Y到+Z顺时针方向旋转.
绕X轴旋转,X坐标不变,也就是说x0不变,y0,z0发生变化.用直角坐标系表示,如下图所示:
因为是从+Y到+Z顺时针方向旋转,如图1所示.设y0,z0点投影到zoy平面上的点为p0(y0,z0),相当于在平面直角坐标系xoy中绕原点顺时针旋转到p点,只不过此时相当于绕原点逆时针旋转360-θ角度/或-θ角度:
Z(z0)---->X(a) Y(y0)---->Y(b)
所以:
z=z0cos(-θ) - y0sin(-θ) = z0cosθ + y0sinθ.
y=z0sin(-θ) + y0cos(-θ) = y0cosθ - z0sinθ.
因此,P点坐标为(x0, y0cosθ - z0sinθ, z0cosθ + y0sinθ).
因为正方向是顺时针,则负方向旋转肯定是逆时针,也就是说应该是从+Z到+Y方向逆时针旋转.
观察图2,p0在zoy(不是yoz)平面中逆旋转,相当于在平面直角坐标系xoy中绕原点逆时针旋转到p点:
Z(z0)---->X(a) Y(y0)---->Y(b)
所以:
z = z0cosθ - y0sinθ
y = z0sinθ + y0cosθ
因此,P点坐标为(x0, z0sinθ + y0cosθ, z0cosθ - y0sinθ).
结论:
左手坐标系:
绕X轴正方向旋转: 即从+Y到+Z顺时针方向旋转.P点坐标为(x0, y0cosθ - z0sinθ, z0cosθ + y0sinθ).
绕X轴负方向旋转: 即从+Z到+Y逆时针方向旋转.P点坐标为(x0, z0sinθ + y0cosθ, z0cosθ - y0sinθ).
绕Y轴正方向旋转: 即从+Z到+X顺时针方向旋转:P点坐标为(x0cosθ + z0sinθ, y0, z0cosθ - x0sinθ).
绕Y轴负方向旋转: 即从+X到+X逆时针方向旋转:P点坐标为(x0cosθ - z0sinθ, y0, x0sinθ + z0cosθ).
绕Z轴正方向旋转: 从+X到+Y方向逆时针方向旋:P点坐标为(x0cosθ - y0sinθ, z0sinθ + y0cosθ, z0).
绕Z轴负方向旋转: 从+Y到+X方向顺时针方向旋:P点坐标为(x0cosθ + y0sinθ, y0cosθ - x0sinθ, z0).
右手坐标系:
绕X轴正方向旋转: 即从+Y到+Z逆时针方向旋转.P点坐标为(x0, y0cosθ - z0sinθ, y0sinθ + z0cosθ).
绕X轴负方向旋转: 即从+Z到+Y顺时针方向旋转.P点坐标为(x0, y0cosθ + z0sinθ, z0cosθ - y0sinθ).
绕Y轴正方向旋转: 即从+Z到+X逆时针方向旋转:P点坐标为(z0sinθ + x0cosθ, y0, z0cosθ - x0sinθ).
绕Y轴负方向旋转: 即从+X到+X顺时针方向旋转:P点坐标为(x0cosθ - z0sinθ, y0, z0cosθ + x0sinθ).
绕Z轴正方向旋转: 从+X到+Y方向逆时针方向旋:P点坐标为(x0cosθ - y0sinθ, z0sinθ + y0cosθ, z0).
绕Z轴负方向旋转: 从+Y到+X方向顺时针方向旋:P点坐标为(x0cosθ + y0sinθ, y0cosθ - x0sinθ, z0).
左/右手坐标系点的旋转方向比较:
绕X轴旋转:从+Y到+Z方向
左手坐标系,顺时针方向旋转.
右手坐标系,逆时针方向旋转.
绕Y轴旋转:从+Z到+X方向
左手坐标系,顺时针方向旋转.
右手坐标系,逆时针方向旋转.
绕Z轴旋转:从+X到+Y方向
左手坐标系,逆时针方向旋转.
右手坐标系,逆时针方向旋转.