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对于线性时不变系统，单位冲激函数 作用下的零状态响应称为冲激响应 ，与阶跃响应的关系为 。该系统对任意激励 的响应为 ， 为零输入相应。
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离散形式为 。
若系统的输入-输出( )方程有以下微分方程形式，
微分算子用 表示，即 ，则可得到一转移算子 ，
微分方程化为 ，则冲激响应为 。若 ，则对 作分式展开后得到如下形式，
而由Laplace变换可知对于不同的 有如下解
所以可求得冲激响应
下举两例
1.
2.
由上面的讨论可知，冲激响应的求解归结为求 。而根据线性时不变系统的相关性质，可以先求解易解的 ，在作叠加即可求得冲激响应 。
仍以 为例。
所以可得冲激响应，
考虑描述一因果线性时不变系统的差分方程，
用 表示 ，则该系统的频率响应为，
于是也可以对应得出冲激响应为，
可以看出，即使 是真分式也可以用类似的部分分式法求解冲激响应。
如下：
冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态响应。
对冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。
简介
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。冲激函数及其延时冲激函数的线性组合来表示或逼近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位冲激函数的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。从而减少计算复杂信号频谱的难度。
生成冲激函数的方法如下：
一、打开matlab，将程序敲入matlab命令行窗口。
二、回车可以得出matlab软件画出的冲击函数波形。
三、matlab画出来的波形图片的编辑及其保存都是可以通过弹出窗口的菜单工具来实现的。
这样就能够生成冲激函数了。
如下：冲激函数即是delta函数，属于广义函数直观的理解便是在x0点取值为1，在区间其余处取值为0。其可以直接生成，也可以视为阶梯函数的导数来生成。
在matlab中，如果是为了绘制出冲激函数的效果图，可以如下编写m文件：
function x=impseq(n0,n1,n2)
n = n1:0.01:n2;
x = [(n-n0)==0]; %其中n0为delta=1处横坐标。
其中n0是取值为1的点，n1，n2是区间左右端点，你可以通过调节0.01使得函数不为0区域变窄。
特解的形式由激励信号确定，由于冲激信号仅在t=0时起作用，即在t时，输入信号为0或者可以认为是无输入信号，但在t=0时冲击信号改变系统装既系统不再为零状态，所以可以当做零输入响应来做，关键是求t=0时的系统状态。
冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态响应。
对冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。
应用
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。
冲激函数及其延时冲激函数的线性组合来表示或逼近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位冲激函数的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。从而减少计算复杂信号频谱的难度。
最近学习自动控制原理，关于控制系统的一些，老师用布置了一些作业说要用matlab画，我试试python
1.control库：用来计算脉冲响应与阶跃响应
2.sympy：用以化简多项式为和的形式方便写参数
比如我们使用 sympy 来验证等式：x2+y2=(x+(2xy)1/2+y)(x−(2xy)1/2+y)
参照详细例子：
3.matplotlib 用以画图
分别是单位脉冲响应和单位节约响应的图像
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