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海伦公式的几种另证及其推广
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关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p
=
(a+b+c),则
s△abc
=
aha=
ab×sinc
=
r
p
=
2r2sinasinbsinc
=
=
其中，s△abc
=
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
s=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
s△abc
=
aha=
a×
=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t
2
=
证明：由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
s△abc
=
aha
=
a
×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
s
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
+
b2
－2abcosc
对其进行证明。
证明：要证明s
=
则要证s
=
=
=
ab×sinc
此时s
=
ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用s△abc
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a+∠b+∠c
=180○那么
tg
·
tg
+
tg
·
tg
+
tg
·
tg
=
1
证明：如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得：
+
+
=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)
=
xyz
④
如图可知：a＋b－c
=
(x+z)＋(x+y)－(z+y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
两边同乘以
，得：
r
2
·
=
两边开方，得：
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
s△abc
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
证明：根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz
∵A+B+C=180度,
A+B=180-C,
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC,
sinA*cosB+cosA*ainB=sinC,
∵cosA=-5/13,cosB=3/5.
sinA=√(1-cos^2A)=12/13,
sinB=√(1-cos^2B)=4/5,
∴sinC=sinA*cosB+cosA*ainB=16/65,
设BC=5,
BC/sinA=AB/sinC,
AB=(sinC/sinA)*BC=4/3,
三角形ABC的面积=1/2sinB*AB*BC=8/3.
/**
* The Class PerimeterArea. This Class is to compute perimeter and area
*/
public class PerimeterArea {
/**
* The main method.
*
* @param args
* the arguments
*/
public static void main(String[] args) {
Shape TriangleObj = new Triangle(3, 4, 5);// 定义三边为3,4,5的三角形
Shape RectangleObj = new Rectangle(5, 6);// 定义长为5，宽为6的矩形
Shape CircleObj = new Circle(5);// 定义半径为5的对象
// 打印各个形状的周长和面积
System.out.println(TriangleObj.toString());
System.out.println(RectangleObj.toString());
System.out.println(CircleObj.toString());
}
}
// 周长接口
interface perimeter {
public abstract double cutePerimeter();
}
// 面积接口
interface area {
public abstract double cuteArea();
}
// 抽象形状类
abstract class Shape implements perimeter, area {
public abstract double cutePerimeter();
public abstract double cuteArea();
}
// 三角形
class Triangle extends Shape {
private int aSide;
private int bSide;
private int cSide;
public Triangle(){}
public Triangle(int aSide, int bSide, int cSide) {
this.aSide = aSide;
this.bSide = bSide;
this.cSide = cSide;
}
public double cutePerimeter() {
return aSide + bSide + cSide;
}
public double cuteArea() {
//面积公式
/*设三边长分别为A、B、C，面积为S；周长的一半P为（A+B+C）/2.
S=√[P（P-A）*（P-B）*（P-C）].
√为开二次方. */
int x = (aSide + bSide + cSide) / 2;
return Math.sqrt(x*(x-aSide)*(x-bSide)*(x-cSide));
}
public int getASide() {
return aSide;
}
public void setASide(int side) {
aSide = side;
}
public int getBSide() {
return bSide;
}
public void setBSide(int side) {
bSide = side;
}
public int getCSide() {
return cSide;
}
public void setCSide(int side) {
cSide = side;
}
public String toString() {
return "三角形的周长为:" + cutePerimeter() + "\n三角形的面积为:" + cuteArea() + "\n";
}
}
// 矩形
class Rectangle extends Shape {
private int longLength;
private int widthLength;
public Rectangle(){}
public Rectangle(int longLength, int widthLength) {
this.longLength = longLength;
this.widthLength = widthLength;
}
public double cutePerimeter() {
return 2 * (longLength + widthLength);
}
public double cuteArea() {
return longLength * widthLength;
}
public int getLongLength() {
return longLength;
}
public void setLongLength(int longLength) {
this.longLength = longLength;
}
public int getWidthLength() {
return widthLength;
}
public void setWidthLength(int widthLength) {
this.widthLength = widthLength;
}
public String toString() {
return "矩形的周长为:" + cutePerimeter() + "\n矩形的面积为:" + cuteArea() + "\n";
}
}
// 圆形
class Circle extends Shape {
public final double pi = 3.14;
private double radius;
public Circle(){}
public Circle(double radius) {
this.radius = radius;
}
public double cutePerimeter() {
return 2 * pi * radius;
}
public double cuteArea() {
return pi * radius * radius;
}
public double getRadius() {
return radius;
}
public void setRadius(double radius) {
this.radius = radius;
}
public String toString() {
return "圆形的周长为:" + cutePerimeter() + "\n圆形的面积为:" + cuteArea() + "\n";
}
}
三角形面积已经修正~谢谢楼上的兄弟~set和get方法只是为了拓展性考虑~不局限于new才能设置参数值
//trangle 函数里面是三点坐标。其中A为直角
public static void trangle(double a_x,double a_y,double b_x,double b_y,double c_x,double c_y){
//Math.sqrt(x)表示开根号。Math.pow(x,n)表示x的n次方。
double ab = Math.sqrt(Math.pow(a_x-b_x, 2) + Math.pow(a_y - b_y, 2));//直线ab
double ac = Math.sqrt(Math.pow(a_x-c_x, 2) + Math.pow(a_y - c_y, 2));//直线bc
//求角B，C度数。Math.PI表示π；Math.atan2(x, y)表示arctant(x/y),在Java中是弧线长度，因此要将长度转换为度数。
double B = Math.atan2(ac, ab)*180/Math.PI;
double C = Math.atan2(ab, ac)*180/Math.PI;
System.out.println("B："+B+"°\nC:"+C+"°");
}