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Graph Theory の brief introduction

一. 图的概念

  1.定义

  某类具体事物（顶点）和这些事物之间的联系（边）,由顶点（vertex）和边（edge）组成, 顶点的集合V，边的集合E，图记为G = (V,E)

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2.分类

    1、无向图 Def：边没有指定方向的图

    2、有向图 Def：边具有指定方向的图 （有向图中的边又称为弧，起点称为弧头，终点称为 弧尾）

    3.带权图 Def: 边上带有权值的图。（不同问题中，权值意义不同，可以是距离、时间、价格、代价等不同属性）

  

3.无向图的术语

 两个顶点之间如果有边连接，那么就视为两个顶点相邻。

 路径：相邻顶点的序列。

 圈：起点和终点重合的路径。

 连通图：任意两点之间都有路径连接的图。

 度：顶点连接的边数叫做这个顶点的度。

树：没有圈的连通图。

 森林：没有圈的非连通图。

                  连通图 非连通图

4.有向图的术语

在有向图中，边是单向的：每条边所连接的两个顶点是一个有序对，他们的邻接性是单向的。

有向路径：相邻顶点的序列。

有向环：一条至少含有一条边且起点和终点相同的有向路径。

有向无环图（DAG）：没有环的有向图。

度：一个顶点的入度与出度之和称为该顶点的度。

  1）入度：以顶点为弧头的边的数目称为该顶点的入度

  2）出度：以顶点为弧尾的边的数目称为该顶点的出度

eg.

1->3->5->6 ：有向路径   

1->3->4->1 ：有向环     

(3、4、5、6) ：无环有向图

节点1的度：3

节点1的入度：1

节点1的出度：2

二.图的表示

  引入：如何用计算机来存储图的信息（顶点、边），这是图的存储结构要解决的问题？

 1、邻接矩阵

  对于一个有V的顶点的图而言，可以使用V*V的二维数组表示。

  G[i][j] 表示的是顶点i与顶点j的关系。

    如果顶点i和顶点j之间 有边相连， G[i][j]=1

    如果顶点i和顶点j之间 无边相连， G[i][j]=0

  对于无向图：G[i][j]=G[j][i]

  在带权图中，如果在边不存在的情况下，将G[i][j]设置为0，则无法与权值为0的情况分开，因此选择较大的常数INF即可。

  邻接矩阵的优点：可以在常数时间内判断两点之间是否有边存在。

  邻接矩阵的缺点：表示稀疏图时，浪费大量内存空间。表示稠密图还是很划算。

  

  eg. 邻接矩阵存储图

Code 
#include
using namespace std;
int a[1005][1005];
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int u,v;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		a[u][v]=a[v][u]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(a[i][j])
				printf("%d ",j);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

 2、邻接表

  通过把“从顶点0出发有到顶点2，3，5的边”这样的信息保存在链表中来表示图。

  

出边表的表结点存放的是从表头结点出发的有向边所指的尾顶点

入边表的表结点存放的则是指向表头结点的某个头顶点

 带权图的邻接表:在表结点中增加一个存放权的字段

  

eg.

将如下的图利用邻接表进行表示，并输出每个顶点的度。

Code 
#include
//存边（编号和边权）
struct edge{
	int v,w;
	edge(){}
	//构造函数
	edge(int V,int W){
		v=V;
		w=W;
	}
};
vector G[maxn];

void addEdge(int u,int v,int w){
	G[u].push_back(edge(v,w));
}

for(int i=1;i<=N;++i){
	int u,v,w;
	cin>>u>>v>>w;
	addEdge(u,v,w);
	addEdge(v,u,w);
}

 3.链式前向星

  参考：链式前向星--最通俗易懂的讲解

  如果说邻接表是不好写但效率好，邻接矩阵是好写但效率低的话，前向星就是一个相对中庸的数据结构。前向星固然好写，但效率并不高。而在优化为链式前向星后，效率也得到了较大的提升。虽然说，世界上对链式前向星的使用并不是很广泛，但在不愿意写复杂的邻接表的情况下，链式前向星也是一个很优秀的数据结构。 ——摘自《百度百科》

链式前向星其实就是静态建立的邻接表，时间效率为O（m），空间效率也为O（m）。遍历效率也为O（m）。

对于下面的数据，第一行5个顶点，7条边。接下来是边的起点，终点和权值。也就是边1 -> 2 权值为1。

样例

5 7
1 2 1
2 3 2
3 4 3
1 3 4
4 1 5
1 5 6

链式前向星存的是以【1，n】为起点的边的集合，对于上面的数据输出就是：

print 
1 //以1为起点的边的集合
1 5 6
1 3 4
1 2 1
 
2 //以2为起点的边的集合
2 3 2
 
3 //以3为起点的边的集合
3 4 3
 
4  //以4为起点的边的集合
4 5 7
4 1 5
 
5 //以5为起点的边不存在

对比邻接表

对于邻接表来说是这样的：
1 -> 2 -> 3 -> 5
2 -> 3
3 -> 4
4 -> 1 -> 5
5 -> ^
对于链式前向星来说是这样的：
edge[0].to = 2; edge[0].next = -1; head[1] = 0;
edge[1].to = 3; edge[1].next = -1; head[2] = 1;
edge[2].to = 4; edge[2],next = -1; head[3] = 2;
edge[3].to = 3; edge[3].next = 0; head[1] = 3;
edge[4].to = 1; edge[4].next = -1; head[4] = 4;
edge[5].to = 5; edge[5].next = 3; head[1] = 5;
edge[6].to = 5; edge[6].next = 4; head[4] = 6;
简化后：1 -> 5 -> 3 -> 2

  由此可见对于每一个节点，输出的顺序为输入时的逆序

我们先对上面的7条边进行编号第一条边是0以此类推编号【0~6】，然后我们要知道两个变量的含义：

  • Next ：表示与这个边起点相同的上一条边的编号。
  • head[ i ] ：数组，表示以 i 为起点的最后一条边的编号。

  加边函数是这样的：

void add_edge(int u, int v, int w)//加边，u起点，v终点，w边权
{
    edge[cnt].to = v; //终点
    edge[cnt].w = w; //权值
    edge[cnt].next = head[u];//以u为起点上一条边的编号，也就是与这个边起点相同的上一条边的编号
    head[u] = cnt++;//更新以u为起点上一条边的编号
}

  遍历函数是这样的：

for(int i = 1; i <= n; i++)//n个起点
    {
        cout << i << endl;
        for(int j = head[i]; j != -1; j = edge[j].next)//遍历以i为起点的边
        {
            cout << i << " " << edge[j].to << " " << edge[j].w << endl;
        }
        cout << endl;
    }

第一层for循环是找每一个点，依次遍历以【1，n】为起点的边的集合。第二层for循环是遍历以 i 为起点的所有边，k首先等于head[ i ]，注意head[ i ]中存的是以 i 为起点的最后一条边的编号。然后通过edge[ j ].next来找下一条边的编号。我们初始化head为-1，所以找到你最后一个边（也就是以 i 为起点的第一条边）时，你的edge[ j ].next为 -1做为终止条件。

Code 
#include
using namespace std;
const int maxn = 1005;//点数最大值
int n, m, cnt;//n个点，m条边
struct Edge
{
    int to, w, next;//终点，边权，同起点的上一条边的编号
}edge[maxn];//边集
int head[maxn];//head[i],表示以i为起点的第一条边在边集数组的位置（编号）
void init()//初始化
{
    for (int i = 0; i <= n; i++) head[i] = -1;
    cnt = 0;
}
void add_edge(int u, int v, int w)//加边，u起点，v终点，w边权
{
    edge[cnt].to = v; //终点
    edge[cnt].w = w; //权值
    edge[cnt].next = head[u];//以u为起点上一条边的编号，也就是与这个边起点相同的上一条边的编号
    head[u] = cnt++;//更新以u为起点上一条边的编号
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    int u, v, w;
    init();//初始化
    for (int i = 1; i <= m; i++)//输入m条边
    {
        cin >> u >> v >> w;
        add_edge(u, v, w);//加边
        /*
        加双向边
        add_edge(u, v, w);
        add_edge(v, u, w);
        */
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)//n个起点
    {
        cout << i << endl;
        for (int j = head[i]; j != -1; j = edge[j].next)//遍历以i为起点的边
        {
            cout << i << " " << edge[j].to << " " << edge[j].w << endl;
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

三.图的遍历

  从图中的某个顶点出发，按某种方法对图中的所有顶点访问且仅访问一次。为了保证图中的顶点在遍历过程中仅访问一次，要为每一个顶点设置一个访问标志。

  1.DFS

概念

深度优先搜索(Depth-First Search)遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推广。假设初始状态是图中所有顶点未曾被访问，则深度优先搜索可从图中某 个顶点v出发，访问此顶点，然后依次从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访 问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

Code

Code 
#include
#define Maxn 205
using namespace std;
int n, m;
bool a[Maxn][Maxn], vis[Maxn];
void DFS(int i) {
    cout << i << ' ';
    vis[i] = 1;
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        if (a[i][j]) {
            if (!vis[j]) {
                vis[j] = 1;
                DFS(j);
            }
        }
    }
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        a[x][y] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!vis[i])
            DFS(i);
    }
    return 0;
}
2.BFS

对(a)进行广度优先搜索 遍历的过程如图(b)所示， 得到的顶点访问序列为: v1->v2->v3->v4->v5->v6->v7->v8

概念

广度优先搜索(Breadth-First Search)遍历类似于树的按层次遍历的过程。 假设从图中某顶点v出发，在访问v之后依次访问v的各个未被访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接 点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的 顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以v为起始点，由近至远，依次访问和v有路径相通 且路径长度为1，2，…的顶点。

Code 
#include
using namespace std;  
int n,m;
int a[205][205],vis[205];
void bfs(int x){
	queue Q;
	Q.push(x); 
	printf("%d ",x);
	vis[x]=1;
	while(!Q.empty()){
		int now=Q.front();
		Q.pop();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(a[now][i]&&!vis[i]){
				Q.push(i);
				printf("%d ",i);
				vis[i]=1;
			}
		}
	}
}
int main() {  
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int u,v;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		a[u][v]=a[v][u]=1;
	}
	int k;
	scanf("%d",&k);
	bfs(k);
    return 0;  
}
3.欧拉路径和欧拉回路

  欧拉路是指存在这样一种图 , 可以从其中一点出发 , 不重复地走完其所有的边 . 如果欧拉路的起点与终点相同 则称之为欧拉回路

  欧拉路存在的充要条件 : 图是连通的 ,因为若不连通不可能一次性遍历所有边。

  对于无向图有且仅有两个点 ,与其相连的边数为奇数 ,其他点相连边数皆为偶数 ;对于两个奇数点 , 一个为起点 , 一个为终点 . 起点需要出去 ,终点需要进入 ,故其必然与奇数个边相连 .

  对于有向图 除去起点和终点 , 所有点的出度与入度相等。且起点出度比入度大 1。终点入度比出度大 1。若起点终点出入度也相同 ，则称为欧拉回路。
可参见鸽巢原理

1. 欧拉通路

只通过一次图中的每条边，且经过图中所有顶点的通路为欧拉通路；

2. 欧拉回路

只通过一次图中的每条边，且经过图中所有顶点的回路为欧拉回路；

3. 有向图的基图

忽略有向边的方向，得到的无向图则为该有向图的基图；

4. 欧拉图

存在欧拉回路的图称为欧拉图；

5. 半欧拉图

存在欧拉通路的图称为半欧拉图；

二、判断与证明

1. 无向图

若无向图 G 为连通图，则可通过度的奇偶性判断图 G 是否存在欧拉通路或回路，有；

  1. 若图 G 不存在度为奇数的端点时，则图 G 有欧拉回路，即，无向连通多重图中存在欧拉回路当且仅当图中所有顶点的度数为偶数；

    对于上述定理，证明如下；

    1. 先证明其充分性，即存在欧拉回路则图中的所有顶点的度数必然为偶数；

      由于要遍历完图中所有的节点，则对于除起点外的每一个节点，一定在一次遍历时，通过一条边来到这个节点，并通过另一条边离开，所以其度数一定为偶数，则对于起点，通过一条边从起点出发，遍历所有节点，遍历完后，则再通过一条边返回，所以起点的度数也一定为偶数；

      则得证；

    2. 再证明其必要性，即若连通图中所有顶点的度数为偶数，则必然存在欧拉回路；

      使用构造性的存在性证明，则在所有顶点的度数为偶数的连通图中，选取一条回路，则

      1. 若此回路为欧拉回路，则结论成立了；
      2. 若此回路不为欧拉回路，则将则回路上的边删除，若出现孤点，则忽略，则删除边后的子图仍然保有原图的性质，即子图中间的节点的度数为偶数，且子图与删除掉的回路一定有公共顶点，以该点作为起点继续找回路，然后删除，重复以上过程，直到所有的边都被删除为止，则所有这些删除的回路一定可连接，构成了一条欧拉回路；

      综上，得证；

    综上，得证；

  2. 若图 G 存在且仅存在 2 个度为奇数的端点时，则图 G 有欧拉通路，其起点为其中 1 个度为奇数的端点，终点为另一个度为奇数的端点，即在无向连通多重图中存在欧拉通路且不存在欧拉回路当且仅当连通图中有且只用两个顶点的度数为奇数；

    对于上述定理，证明如下，

    1. 先证明其充分性，即存在欧拉通路则图中有且只有两个顶点的度数为奇数，其他顶点的度数皆为偶数；

      由于要遍历完图中所有的节点，则对于除起点与终点外的每一个节点，一定在一次遍历时，通过一条边来到这个节点，并通过另一条边离开，所以其度数一定为偶数，则对于起点与终点，通过一条边从起点出发，遍历所有节点，遍历完后，则再通过一条边到达终点，所以起点与终点的度数为奇数；

      则得证；

    2. 再证明其必要性，即连通图中有且只有两个奇数度顶点，则必然存在欧拉通路；

      则可将起点与终点进行连接，则原图中所有得节点度数均为偶数，又由于 连通图中所有顶点的度数为偶数，则必然存在欧拉回路 ，所以将连接的边删除后，可得到欧拉通路；

      则得证；

    综上，得证；

  3. 若不满足上述情况，则不存在欧拉回路与欧拉通路；

2. 有向图

若有向图 G 为连通图，则可通过出，入度的大小判断图 G 是否存在欧拉通路或回路，有；

  1. 若图 G 所有节点的入度等于出度，则图 G 有欧拉回路，即有向连通多重图中存在欧拉回路当且仅当图中所有顶点的入度数等于出度数；

    证明如下，

    由于要遍历完图中所有的节点，则对于除起点外的每一个节点，一定在一次遍历时，通过一条边来到这个节点，并通过另一条边离开，所以其入度等于出度，则对于起点，通过一条边从起点出发，遍历所有节点，遍历完后，则再通过一条边返回，所以起点的入度也一定等于出度；

    则得证；

  2. 若图 G 存在且仅存在 2 个节点的入度不等于出度，且一个节点入度比出度大 1 ，一个入度比出度小 1 ，则图 G 有欧拉通路，其起点为入度比出度小 1 的节点，终点为节点入度比出度大 1 节点，即有向连通多重图中存在欧拉通路且不存在欧拉回路当且仅当连通图中有且只用两个顶点的入度不等于出度，且一个节点入度比出度大 1 ，另一个入度比出度小 1 ；

    证明如下，

    由于要遍历完图中所有的节点，则对于除起点与终点外的每一个节点，一定在一次遍历时，通过一条边来到这个节点，并通过另一条边离开，所以其入度等于出度，则对于起点，通过一条边从起点出发，遍历所有节点，不需返回，所以入度比出度小 1 ，对于终点，通过一条边到达，所以其入度比出度大 1 ；

    则得证；

  3. 若不满足上述情况，则不存在欧拉回路与欧拉通路；

三、解法

1. DFS

思路

对于无向图，则寻找图中的度数为奇数的点，若没有则从任意节点开始搜索；

对于有向图，则寻找图中入度比出度小 1 的点，若没有则从任意节点开始搜索；

对节点搜索时，搜索与相邻的节点，并删除边，继续递归搜索即可；

代码

以欧拉回路为例；

code 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define MAXN 
using namespace std;
int f, n, m, in[MAXN], out[MAXN], s, pos = 1, ans[MAXN], cnt;
bool vis[MAXN], vise[MAXN];
struct edge {
	int to, tot;
};
vector  g[MAXN];
void dfs(int i) {
	vis[i] = true;
	while (!g[i].empty()) { // 遍历并删除
		int v = g[i].back().to, tot = g[i].back().tot;
		g[i].pop_back();
		if (!vise[abs(tot)]) {
			vise[abs(tot)] = true; // 标记已走过的边
			dfs(v);
			ans[++cnt] = tot; // 存入路径
		}
	}
	return;
}
int main() {
	scanf("%d", &f);
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d %d", &x, &y);
		g[x].push_back(edge({y, i}));
		if (f == 1) g[y].push_back(edge({x, -i})); // 双向存边，记录反向
		in[x]++, out[y]++;
	}
	if (m == 0) {
		printf("YES\n");
		return 0;
	}
	if (f == 1) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if ((in[i] + out[i]) % 2 == 1) { // 找起点
				printf("NO");
				return 0;
			} else if (in[i] + out[i]) {
				pos = i;
			}
		}
	} else {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (in[i] != out[i]) { // 找起点
				printf("NO");
				return 0;
			} else if (in[i]) {
				pos = i;
			}
		}
	}
	dfs(pos); // 搜索
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if ((in[i] || out[i]) && !vis[i]) { // 判断合法
			printf("NO\n");
			return 0;
		}
	}

	printf("YES\n");
	for (int i = cnt; i >= 1; i--) { // 输出
		if (f == 2) ans[i] = abs(ans[i]);
		printf("%d ", ans[i]);
	}
	return 0; 
}


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