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FFT (Fast Fourier Transform, 快速傅里叶变换) 是离散傅里叶变换的快速算法，也是数字信号处理技术中经常会提到的一个概念。用快速傅里叶变换能将时域的数字信号转换为频域信号，转换为频域信号后我们可以很方便地分析出信号的频率成分。
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当我们把双频信号FFT示例中的 fft_size 的值改为 2**12 时，这时，基频为 16Hz，不能被 1kHz整除，所以 1kHz 处发生了频谱泄露，而它能被 4kHz 整除，所以 4kHz 可以很好地被采样。
由于波形的前后不是连续的，出现波形跳变，而跳变处有着非常广泛的频谱，因此FFT的结果中出现了频谱泄漏。
为了减小FFT所截取的数据段前后的跳变，可以对数据先乘以一个窗函数，使得其前后数据能平滑过渡。常用的hanning窗函数的定义如下：
50Hz 正弦波与hann窗函数乘积之后的重复波形如下：
我们对频谱泄漏示例中的1kHz 和 4kHz 信号进行了 hann 窗函数处理，可以看出能量更加集中在 1kHz 和 4kHz，在一定程度上抑制了频谱泄漏。
以 1kHz 三角波为例，我们知道三角波信号中含有丰富的频率信息，它的傅里叶级数展开为：
当数字信号的频率随时间变化时，我们称之为扫频信号。以频率随时间线性变化的扫频信号为例，其数学形式如下：
其频率随时间线性变化，当我们在 [0,1] 的时间窗口对其进行采样时，其频率范围为 0~5kHz。当时间是连续时，扫频信号的频率也是连续的。但是在实际的处理中，是离散的点采样，因此时间是不连续的，这就使扫频信号的快速傅里叶变换问题退化为多点频信号快速傅里叶变换问题。其快速傅里叶变换得到的频谱图如下所示：
以 50Hz 正弦信号相位调制到 1kHz 的信号为例，其信号形式如下：
它的时域波形，频率响应和相位响应如下图所示：
以扫频信号为例，当我们要探究FFT中的能量守恒时，我们要回归到信号最初的形式：
首先我们先来了解一下计算平均数的IPO模式.
输入：待输入计算平均数的数。
处理：平均数算法
输出：平均数
明白了程序的IPO模式之后，我们打开本地的python的IDE
工具，并新建一个python文件，命名为test6.py.
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打开test6.py,进行编码，第一步，提示用户输入要计算多少个数的平均数。
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第二步，初始化sum总和的值。注意，这是编码的好习惯，在定义一个变量的时候，给一个初始值。
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第三步，循环输入要计算平均数的数，并计算总和sum的值。
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最后，计算出平均数，并输出，利用“总和/数量”的公式计算出平均数。
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编码完成后，记得保存，然后进行调试运行。按F5键或者点击菜单栏中的“run”-》“run model”来运行程序。
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1.Numpy库
是Python开源的数值计算扩展工具，提供了Python对多维数组的支持，能够支持高级的维度数组与矩阵运算。此外，针对数组运算也提供了大量的数学函数库，Numpy是大部分Python科学计算的基础，具有很多功能。
2.Pandas库
是一个基于Numpy的数据分析包，为了解决数据分析任务而创建的。Pandas中纳入了大量库和标准的数据模型，提供了高效地操作大型数据集所需要的函数和方法，使用户能快速便捷地处理数据。
3.Matplotlib库
是一个用在Python中绘制数组的2D图形库，虽然它起源于模仿MATLAB图形命令，但它独立于MATLAB，可以通过Pythonic和面向对象的方式使用，是Python中最出色的绘图库。主要用纯Python语言编写的，它大量使用Numpy和其他扩展代码，即使对大型数组也能提供良好的性能。
4.Seaborn库
是Python中基于Matplotlib的数据可视化工具，提供了很多高层封装的函数，帮助数据分析人员快速绘制美观的数据图形，从而避免了许多额外的参数配置问题。
5.NLTK库
被称为使用Python进行教学和计算语言学工作的最佳工具，以及用自然语言进行游戏的神奇图书馆。NLTK是一个领先的平台，用于构建使用人类语言数据的Python程序，它为超过50个语料库和词汇资源提供了易于使用的接口，还提供了一套文本处理库，用于分类、标记化、词干化、解析和语义推理、NLP库的包装器和一个活跃的讨论社区。
1、Numpy库简介
在Python中很多高级库都是基本Numpy科学库去做的。之前如果用Python对数据进行操作，需要一行一行或者一个一个数据的去进行操作。而在Numpy中，则是封装了一系列矩阵的操作：首先把数据转换成一系列矩阵的格式，然后再对矩阵进行操作。这样既高效，也省时。Numpy封装了一系列的函数函数，方便我们去操作矩阵。Numpy中一行代码就顶Python中十几行的代码。
2、Pandas库简介
在Pandas 是基于Numpy的一种工具，该工具是为了解决数据分析任务而创建的。Pandas
纳入了大量库和一些标准的数据模型，提供了高效地操作大型数据集所需的工具。Pandas提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。你很快就会发现，它是使Python成为强大而高效的数据分析环境的重要因素之一。
3、Matplotlib库简介
Matplotlib 是一个 Python 的 2D绘图库，它以各种硬拷贝格式和跨平台的交互式环境生成出版质量级别的图形，通过
Matplotlib，开发者可以仅需要几行代码，便可以生成绘图，直方图，功率谱，条形图，错误图，散点图等。